ایزوتوپ و جرم اتمی میانگین؛ محاسبه فراوانی نسبی گام‌به‌گام

عدد اتمی و عدد جرمی را از هم جدا کن

عدد اتمی با نماد Z برابر تعداد پروتون‌های هسته است و هویت عنصر را تعیین می‌کند. همه اتم‌های کربن شش پروتون و همه اتم‌های کلر هفده پروتون دارند. در اتم خنثی تعداد الکترون‌ها نیز با تعداد پروتون‌ها برابر است، اما بار یون می‌تواند تعداد الکترون‌ها را تغییر دهد، نه تعداد پروتون‌ها را.

عدد جرمی با نماد A مجموع تعداد پروتون‌ها و نوترون‌های یک اتم مشخص است. بنابراین تعداد نوترون‌ها از رابطه N = A − Z به دست می‌آید. چون پروتون و نوترون ذره‌هایی شمارش‌پذیرند، عدد جرمی یک ایزوتوپ عدد صحیح است؛ این عدد را نباید با جرم اتمی اعشاری درج‌شده در جدول تناوبی یکی دانست.

• عدد اتمی Z = تعداد پروتون
• عدد جرمی A = تعداد پروتون + تعداد نوترون
• تعداد نوترون N = A − Z
• یون‌شدن تعداد الکترون‌ها را تغییر می‌دهد، نه Z و A را

ایزوتوپ‌ها را از روی نماد هسته‌ای بشناس

ایزوتوپ‌ها اتم‌های یک عنصرند که عدد اتمی یکسان اما تعداد نوترون و در نتیجه عدد جرمی متفاوت دارند. نماد هسته‌ای را می‌توان به صورت ᴬZX نوشت که در آن X نماد عنصر، A عدد جرمی و Z عدد اتمی است. برای مثال کربن‌ـ‌۱۲ و کربن‌ـ‌۱۴ هر دو Z = 6 دارند، اما به‌ترتیب ۶ و ۸ نوترون در هسته آن‌هاست.

یکسان‌بودن تعداد پروتون‌ها سبب می‌شود ایزوتوپ‌های یک عنصر جایگاه یکسانی در جدول تناوبی داشته باشند و رفتار شیمیایی آن‌ها در بسیاری از موقعیت‌ها بسیار شبیه باشد. با این حال، تفاوت جرم هسته می‌تواند برخی ویژگی‌های فیزیکی و پایداری هسته‌ای را تغییر دهد. اصطلاح ایزوتوپ فقط وقتی درست است که Z ثابت و A متفاوت باشد؛ اتم‌هایی با Z متفاوت متعلق به دو عنصر متفاوت‌اند.

• ایزوتوپ‌ها: Z یکسان و A متفاوت
• با ثابت‌بودن Z، نماد شیمیایی عنصر ثابت می‌ماند
• اختلاف عدد جرمی از اختلاف تعداد نوترون‌ها می‌آید
• برای شمارش نوترون، بار الکتریکی یون را وارد رابطه A − Z نکن

معنای فراوانی نسبی و میانگین وزن‌دار را بفهم

فراوانی نسبی هر ایزوتوپ سهم آن از مجموعه اتم‌های یک نمونه طبیعی است و معمولاً به صورت درصد بیان می‌شود. مجموع فراوانی همه ایزوتوپ‌های یک عنصر باید ۱۰۰ درصد یا در نمایش کسری برابر ۱ باشد. برای استفاده در فرمول، درصد را بر ۱۰۰ تقسیم می‌کنیم؛ بنابراین فراوانی ۷۵ درصد به کسر 0.75 تبدیل می‌شود.

جرم اتمی میانگین یک میانگین ساده نیست، زیرا تعداد ایزوتوپ‌ها معمولاً برابر نیست. جرم هر ایزوتوپ در فراوانی کسری آن ضرب و حاصل ضرب‌ها با هم جمع می‌شوند. ایزوتوپ فراوان‌تر اثر بیشتری بر نتیجه دارد؛ پس جرم میانگین باید میان جرم سبک‌ترین و سنگین‌ترین ایزوتوپ قرار گیرد و به جرم ایزوتوپ فراوان‌تر نزدیک‌تر باشد.

• مجموع فراوانی‌های درصدی = ۱۰۰٪
• فراوانی کسری = فراوانی درصدی ÷ ۱۰۰
• میانگین وزن‌دار = مجموع جرم × سهم هر ایزوتوپ
• نتیجه باید داخل بازه جرم ایزوتوپ‌ها باشد

جرم اتمی میانگین را مرحله‌به‌مرحله حساب کن

ابتدا برای هر ایزوتوپ، جرم و فراوانی متناظر را کنار هم بنویس. سپس همه درصدها را به کسر تبدیل کن، هر جرم را در سهم خودش ضرب کن و حاصل‌ها را جمع بزن. اگر در صورت سؤال جرم دقیق ایزوتوپی داده شده است، همان مقدار را به کار ببر؛ اگر فقط عدد جرمی داده شده و سؤال در سطح تقریبی است، مطابق داده مسئله از عدد جرمی استفاده کن.

برای کنترل پاسخ، پیش از محاسبه حدس بزن میانگین به کدام ایزوتوپ نزدیک‌تر خواهد بود. استفاده مستقیم از عدد ۷۵ به جای 0.75 پاسخ را صد برابر بزرگ می‌کند. همچنین نباید جرم ایزوتوپ‌ها را جمع و بر تعداد آن‌ها تقسیم کرد، مگر اینکه فراوانی همه آن‌ها دقیقاً برابر باشد.

مثال حل‌شده: جرم میانگین دو ایزوتوپ کلر

فرض کن در یک مدل ساده، کلر از ۷۵ درصد کلر‌ـ‌۳۵ و ۲۵ درصد کلر‌ـ‌۳۷ تشکیل شده باشد. فراوانی‌های کسری برابر 0.75 و 0.25 هستند و مجموع آن‌ها 1 می‌شود. با داده‌های تقریبی مسئله می‌نویسیم: جرم اتمی میانگین = (35 × 0.75) + (37 × 0.25).

حاصل ضرب نخست 26.25 و حاصل ضرب دوم 9.25 است؛ پس جرم اتمی میانگین برابر 35.50 u به دست می‌آید. این پاسخ بین ۳۵ و ۳۷ و به ۳۵ نزدیک‌تر است، زیرا ایزوتوپ کلر‌ـ‌۳۵ فراوان‌تر است. توجه کن که 35.50 عدد جرمی یک اتم خاص نیست؛ میانگین جرم اتم‌های فراوان موجود در نمونه است.

فراوانی مجهول را با یک متغیر پیدا کن

اگر عنصر فقط دو ایزوتوپ داشته باشد و فراوانی یکی را x بگیریم، فراوانی دیگری در نمایش کسری 1 − x خواهد بود. سپس رابطه میانگین را به صورت جرم ایزوتوپ اول × x به‌علاوه جرم ایزوتوپ دوم × (1 − x) می‌نویسیم. پس از حل معادله، برای تبدیل x به درصد آن را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم.

یک راه سریع برای سنجش پاسخ این است که جای میانگین را روی بازه دو جرم ببینی. هرچه میانگین به یکی از جرم‌ها نزدیک‌تر باشد، همان ایزوتوپ فراوان‌تر است. این بررسی جای حل جبری را نمی‌گیرد، اما خطاهایی مانند جابه‌جاکردن دو فراوانی یا پاسخ منفی را آشکار می‌کند.

• برای دو ایزوتوپ: فراوانی‌ها x و 1 − x هستند
• معادله را با فراوانی کسری بنویس
• در پایان x را در ۱۰۰ ضرب کن تا درصد به دست آید
• مجموع دو درصد نهایی را دوباره با ۱۰۰ کنترل کن

تمرین روشن و نکات کلیدی

تمرین: عنصری دو ایزوتوپ با عددهای جرمی ۱۰ و ۱۱ دارد و جرم اتمی میانگین آن 10.8 u است. فراوانی ایزوتوپ سبک‌تر را پیدا کن. اگر فراوانی ایزوتوپ ۱۰ را x بگیریم، فراوانی ایزوتوپ ۱۱ برابر 1 − x است. معادله 10x + 11(1 − x) = 10.8 را می‌نویسیم.

با بازکردن پرانتز داریم 10x + 11 − 11x = 10.8، پس x = 0.20 است. بنابراین فراوانی ایزوتوپ ۱۰ برابر ۲۰ درصد و فراوانی ایزوتوپ ۱۱ برابر ۸۰ درصد است. میانگین 10.8 به ۱۱ نزدیک‌تر است و فراوانی بیشتر ایزوتوپ سنگین‌تر، پاسخ را از نظر مفهومی تأیید می‌کند.

• A را برای یک اتم مشخص با جرم اتمی میانگین اشتباه نگیر
• درصدها را پیش از ضرب به کسر تبدیل کن
• هر فراوانی را فقط در جرم ایزوتوپ متناظر ضرب کن
• مجموع فراوانی‌ها و بازه پاسخ را کنترل کن
• نزدیکی میانگین به یک جرم، نشانه فراوانی بیشتر همان ایزوتوپ است